ที่มาของค่าe=2.718281828... ที่น่าทึ่ง!!!

เนื่องจากทีมงานcalcool ไม่ค่อยได้อัพโพสต์ใหม่ วันนี้ก็อยากอัพเกี่ยวกับบทความคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจอีกอย่าง ที่หลายคนถามว่าเรียน ค่า e ไปทำไมเพราะ ตอนเรียนมัธยมปลายจะมีเนื้อหาในเรื่องเลขชี้กำลัง และลอการิทึม อยู่นิดเดียวในมัธยมศึกษาปีที่ 5 เรื่อง ลอการิทึมธรรมชาติ พอเข้ามหาวิทยาลัยได้ใช้ ค่า e เพียบเลย!!! ผมได้เอาบทความที่มีอยู่แล้วมาเผยแพร่เพิ่มเติมกับค่า e ลองอ่านดูได้เลย^^

ตัวเลข e มีค่าประมาณ 2.718281828... ดูเผิน ๆ แล้ว ไม่น่าโดนใจอะไร แต่เอาเข้าจริง e เป็นตัวเลขที่นักคณิตศาสตร์หลงใหลเอามากๆ เพราะมีคุณสมบัติที่น่ารัก(ทางคณิตศาสตร์)อยู่หลายประการ และเป็นน้องเล็ก ถ้าเทียบกับพี่ใหญ่ เช่น ค่า ¶, ค่า Ø หรือ ค่า i

นักคณิตศาสตร์หลายท่านเฉี่ยวไปเฉี่ยวมากับการ “ค้นพบ” ค่า e ในที่ต่าง ๆ เช่น การศึกษาฟังก์ชันลอการิทึม (logarithm function), ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (exponential function) หรือ พื้นที่ของกราฟไฮเพอร์โบลา แต่ค่า e ก็ถูกปล่อยให้ลอยนวลอยู่ จนกระทั่ง จาคอบ (Jacob Bernulli) แห่งตระกูลแบร์นูลลี (เป็นตระกูลที่ผลิตนักคณิตศาสตร์โด่งดังถึงสิบสามคน คล้ายกับตระกูลหยาง แห่งบู๊ลิ้มที่ผลิตขุนศึกมากมาย) ให้ความหมายของค่า e ได้เป็นคนแรกในปี พ.ศ. 2240 ถัดมาประมาณ พ.ศ. 2260 ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ชาติสวิส ได้ตีแผ่เบื้องหลัง (ด้านดี) ของค่า e ออกมามากมาย

จาคอบ แบร์นูลลี

ตั้งแต่นั้น ค่า e ก็เปิดตัวสู่สาธารณชน ทั้งในแวดวงเรขาคณิต, การเงิน, ฟิสิกส์, สถิติ และ คณิตวิเคราะห์ หนำซ้ำยังเสนอหน้ามาร่วมแจมในสาขาต่าง ๆ แบบไม่คาดฝันอยู่บ่อย ๆ ค่าพายอยู่คู่กับวงกลมฉันใด ค่า e ก็คู่กับการเติบโต งอกงามฉันนั้น ขอยกตัวอย่าง เช่น มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ ใช้กราฟ e^x เป็นสัญลักษณ์ของมหาวิทยาลัย ที่แสดงถึง “การศึกษาคือความงอกงาม”

สัญลักษณ์ของมหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ

บริษัทเจ้าของ Google ตัวค้นหาข้อมูลทางอินเตอร์เน็ทอันดับหนึ่งของโลก เข้าตลาดหลักทรัพย์ในปี 2546 ได้ประกาศระดมทุน 2,718,281,828 ดอลลาร์ ถ้าเราเอาจำนวนนี้หารด้วยพันล้าน(1,000,000,000) จะได้เป็นค่าประมาณของค่า e พอดีเลย ถ้าว่าไม่ตั้งใจก็คงจะเกินไปหน่อย บริษัทของ Google คงมองตัวเลข e ว่า เป็นความเจริญรุ่งเรือง และเป็นมงคลอย่างยิ่ง

Sergey Brin และ Larry Page ผู้ก่อตั้ง Google สองหนุ่มผู้หลงใหลค่า e

e กับการออกดอก

จากที่กล่าวมาว่าตัวเลข e เกี่ยวข้องกับความงอกงาม

ถามว่า “ดอกอะไร โตเร็วที่สุด ?” ชาวยุทธจักรลูกหนี้ทั้งหลายคงพร้อมใจตอบเป็นเสียงเดียวว่า
“ดอกเบี้ย ! ”

ค่า e และดอกเบี้ย เกี่ยวพันกันอย่างมาก ขอยกตัวอย่างให้เห็นเป็นรูปธรรมครับ

สมมติว่าน้องลานนา มาขอยืมเงินผมหนึ่งบาท เป็นเวลาหนึ่งปี จะไปลงทุนออกเทป (สมมติครับ อย่าซีเรียส) ผมสวมบทบาทเจ้าหนี้หน้าเลือด คิดดอกเบี้ยร้อยละร้อย แสดงว่าสิ้นปี น้องลานนา (ถ้าไม่หนีหนี้ผมไปซะก่อน) จะต้องจ่ายเงินต้นผมหนึ่งบาท ดอกเบี้ยอีกหนึ่งบาท รวมเป็น 2 บาท

ผมเขี้ยวกว่านี้ได้อีก โดยคิดดอกเท่าเดิม แต่คราวนี้ผมคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกครึ่งปี แสดงว่าหกเดือนผ่านไป ผมเริ่มคิดดอกเบี้ย แต่ผมสัญญากับน้องเขาว่าดอกยังเป็นร้อยละร้อย ต่อปี ดังนั้นผ่านมาครึ่งปี ผมคิดดอกเบี้ยได้แค่ร้อยละห้าสิบ แสดงว่าครึ่งปีผ่านไป น้องลานนาจะติดเงินผมอยู่ 1.50 บาท

สิ้นปี ผมคิดดอกเบี้ยอีกร้อยละห้าสิบของ 1.50 บาท ดังนั้นผมจะได้ดอกเบี้ยสิ้นปีอีก 0.75 บาท รวมกับของเก่า 1.50 บาท เป็นทั้งหมด 2.25 บาท

ถ้าคิดในรูปยกกำลัง จะได้ 
= 2.25 บาท ทำนองเดียวกัน ถ้าผมคิดดอกเบี้ย n งวด ในหนึ่งปี แต่ละครั้ง ดอกเบี้ยเท่ากัน แต่ต้องเป็นร้อยละร้อยต่อปี
เงินที่จะได้ในหนึ่งปีคือ บาท
ถ้าเก็บดอก 3 งวด แทนค่าเข้าในสูตร จะได้เงินปลายปี หรือประมาณ
2.37 บาท
ถ้ากำเริบขึ้นมา คิดดอกเบี้ยรายเดือน คือ 12 งวดต่อปี น้องลานนาต้องจ่าย ประมาณ
2.61 บาท

ดอกเบี้ยต่อปีเท่าเดิม แต่ยิ่งแบ่งงวดทบต้นมากเท่าไร ยิ่งคิดเป็นเงินปลายปีได้มากขึ้น ถ้าผมจะขอคิดดอกเบี้ย เป็นรายวัน รายชั่วโมง หรือ เป็นรายวินาที น้องลานนามิต้องหมดเนื้อหมดตัว
ใช้หนี้ผมหรือ ?

จาคอบ แบร์นูลลี

จาคอบ แบร์นูลลี ตั้งคำถามทำนองนี้ เมื่อสามร้อยปีที่แล้ว และสรุปว่า

"ถ้าเราแทน n ในสูตรด้วยค่าอสงไขย หรือ พูดแบบคณิตศาสตร์ก็ว่า ให้ลิมิตของ n เข้าสู่อนันต์แทนเข้าไปในสูตร
จะได้ค่าคงตัวออกมาค่าหนึ่ง"

ซึ่งคุณเบอร์นูลลี คำนวณมาประมาณว่าไม่เกิน 3 ดังนั้น ไม่ว่าเจ้าหนี้หน้าเลือด จะคิดเป็นกี่ล้านงวดในหนึ่งปี
น้องลานนาผู้น่ารัก ก็จะจ่ายไม่เกิน 3 บาท

ต่อมา คนจึงรู้ว่า เจ้าค่าคงตัวที่คุณเบอร์นูลลี คำนวณออกมา ที่แท้ก็คือค่า e นั่นเอง

สิ่งที่คุณแบร์นูลลี คิดขึ้น เป็นที่มาของนิยาม

แสดงว่าน้องลานนาไม่ต้องจ่ายถึง 3 บาทด้วยซ้ำ แค่ e บาท หรือ 2.718 เศษๆ ก็พอ

จากนิยามข้างต้น เรายังเล่นแร่แปรธาตุได้ต่อ คราวนี้ ถ้า 1 บาท คิดดอกเบี้ย x บาทต่อปี
แต่คิดเป็นอสงไขยงวด สูตรก็จะเปลี่ยนเป็น

นักคณิตศาสตร์คำนวณได้

 = e^x

คนชอบเลขหลายคนบอกว่าสมการนี้น่ารัก น่าศึกษา จะน่าเอ็นดูพอ ๆ กับน้องลานนาหรือไม่ ก็แล้วแต่ใครจะคิดล่ะครับ

ตัวเลขของ ออยเลอร์

ประเทศสวิส สร้าง โรเจอร์ เฟดเดอร์เรอร์ ให้วงการเทนนิส ทางวงการคณิตฯ ก็มี ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ที่บางตำรายกย่องท่านว่าเป็นผู้ผลิตผลงานคณิตศาสตร์มากที่สุดตลอดกาล

ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์

ท่านเป็นคนที่ตั้งชื่อตัวเลขนี้ว่า e และติดตลาดถึงทุกวันนี้ บางคนเข้าใจว่า e ตั้งมาจากชื่อ ออยเลอร์ (Euler) ของท่าน แต่เปล่าครับ ! ท่านตั้งชื่อโดยไม่ได้คิดว่ามันจะมาโด่งดังอะไร และท่านเป็นคนสบาย สบาย อิ่มตัวกับชื่อเสียงพอแล้ว ว่ากันว่า ท่านต้องการใช้สระอักษรโรมันแทนค่าคงตัวนี้ แต่ท่านใช้ตัว a แทนค่าอื่นไปแล้ว ก็เลยถึงทีที่ต้องใช้ตัว e บ้าง จะเป็นโชค หรือฟ้ากำหนดก็ได้ เพราะถ้าเห็นตัว e แล้วนึกถึงคำว่า ออยเลอร์ ก็เหมาะสมด้วยประการทั้งปวง เพราะออยเลอร์เป็นคนแรกก็ว่าได้ ที่ทำให้คนเห็นความสำคัญของตัวเลขนี้ นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังจึงเรียกชื่อเต็มยศของค่า e นี้ว่า ตัวเลขของออยเลอร์ (Euler Number หรือ Eulerian Number)

ผมจาระไนผลงานทั้งหมดของท่านออยเลอร์คงไม่ได้ ขอยกที่เป็นเสาหลัก ดังต่อไปนี้ ท่านได้แสดงความสมการ

โดยที่ n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 2 x 1 ยกตัวอย่างเช่น 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 หลักฐานชั้นหลังบ่งว่านิวตันศึกษาอนุกรมนี้ก่อน แต่เป็นออยเลอร์ที่ชี้ความสัมพันธ์กับค่า e ออยเลอร์ ได้ฝากค่า e สู่อ้อมอก อ้อมใจ ของคณิตวิเคราะห์ (mathematical analysis) โดยโยงใย e กับระบบจำนวนเชิงซ้อนด้วยสมการข้างล่างนี้

e^xi = cos(x) + i sin(x)

ถ้าแทนค่า ด้วย ลงไปบนสมการข้างบน จัดรูปอีกนิด จะได้สิ่งที่เรียกว่า สมการของออยเลอร์

e^¶i + 1 = 0

เคยมีการโหวตโดยนักวิทยาศาสตร์ว่าสมการไหนสวยที่สุด สมการของออยเลอร์ ติดอันดับต้น ๆ หรือ ขวัญใจช่างภาพ (อันหลังนี้ ไม่มีจริงนะครับ) แทบทุกครั้งไป ตัวเลข และ เป็นดาวดังแห่งวงการตัวเลข ถ้าเปรียบก็เหนือกว่า ซีดาน ฟิโก้ โรนัลโด้ เบ็กแคม และโอเว่น เสียอีก เพราะเลขพวกนี้ฟอร์มเข้าที่ ไม่มีตก ยกพวกมาอยู่ทีมหรือสมการเดียวกันอย่างงดงามแบบนี้ คนชอบเลขตื่นตาตื่นใจยิ่งกว่าเห็นทีม เรียล แมดริด เสียอีก ออยเลอร์ยังศึกษาค่า e กับเศษส่วนต่อเนื่องและประโยชน์ใช้สอยอื่น ๆ อีกมากมาย สมควรแล้วที่เมื่อเห็นค่า e แล้วจะรำลึกคุณงามความดีของท่าน

คณิตศาสตร์ กับความไม่คาดฝัน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และ ฟังก์ชันลอการิทึม มีความสำคัญเพียงใด ค่า e
ก็สำคัญตามไปด้วย เพราะเจ้า e เข้าขากับสองฟังก์ชันนี้ที่สุด ตัวอย่างเช่น
e^x เป็นฟังก์ชันเดียวในจักรวาลนี้ที่มีอนุพันธ์คือตัวมันเอง ในขณะที่ฟังก์ชันตัวอื่นเมื่อหาอนุพันธ์จะได้ค่าเปี๋ยนไป๊

หรือ ถ้าเป็นลอการิทึมของ x ฐาน e (log_e x) จะมีค่าอนุพันธ์คือ 1/x ถ้าใช้ฐานอื่น จะยุ่ง ต้องคูณกับค่าคงตัวอื่น ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และ ฟังก์ชันลอการิทึม เป็นเครื่องมือใช้ทำความเข้าใจการเติบโตและลดถอย วิชาต่าง ๆ เช่น

• ชีววิทยาที่สนใจการเติบโตของประชากร

• เศรษฐศาสตร์ที่ศึกษาการขยายตัวทางเศรษฐกิจ

• ฟิสิกส์ที่คำนวณการแตกสลายของสารกัมมันตรังสี หรือ

• การเงินที่สนใจการเพิ่มของดอกเบี้ย

ก็ต้องใช้ฟังก์ชันทั้งสองนี้ ค่า e
จึงกลายเป็นเครื่องมือที่สำคัญตามไปด้วย

งานทางคณิตศาสตร์หลายงาน เมื่อยังแบเบาะ เราอาจจะไม่เห็นประโยชน์ของมัน แต่เมื่อเติบใหญ่ มันอาจจะมีประโยชน์นานัปการกับมนุษย์ ตัวอย่างของ e ไม่ใช่เป็นตัวอย่างหัวเดียวกระเทียมลีบ ยังมีงานทางคณิตศาสตร์มากมายที่เป็นเช่นนั้น

ประเทศพัฒนาแล้วทั้งหลาย จึงให้อิสรภาพทางวิชาการระดับหนึ่งกับนักคณิตศาสตร์ที่จะวิจัยสร้างความรู้เพื่อความรู้
โดยไม่ถามว่าจะไปใช้อะไร ! ผลพลอยได้ คือ ความรู้จริง รู้ลึกในแขนงต่าง ๆ และเมื่อจำเป็นจะต้องวิจัยงานประยุกต์จริง
ก็ทำได้ ความรู้เพื่อจะใช้กับเทคโนโลยี กับ สังคม ให้ได้ทันที เป็นเรื่องจำเป็น เป็นเรื่องมีประโยชน์

แต่สังคมยังต้องการคนรู้ลึกซึ้งในแขนงต่าง ๆ อีกจำนวนหนึ่ง เพราะโลกยังมีสิ่งไม่อาจคาดคะเนหลายอย่างที่อาจเกิดขึ้นได้
เราต้องเตรียมคนเหล่านี้ สำหรับความไม่คาดฝันด้วย อะไร อะไร ก็ประมาทไม่ได้ ขนาดคนหน้าใส ๆ น้องลานนาเขายังไม่ไว้ใจเลยครับ

......................................................................................

จบไปแล้วครับสำหรับความรู้ความเข้าใจมากขึ้นเกี่ยวกับค่า e ขอขอบคุณบทความจาก ดร. กิตติกร นาคประสิทธิ์ นักเขียน ประจำ วิชาการ.คอม  หวังว่าจะเป็นประโยชน์ไม่มากก็น้อยกับผู้สนใจศึกษาคณิตศาสตร์ แล้วคิดว่าเรียนไปทำไม  เพราะกว่าจะได้ค่า e ที่มาของมันนี่สุดยอดเจริงๆ 🙂